葛士浚《皇朝经世文续编》卷5-6
皇朝经世文续编卷五
上海葛士浚子源辑
学术五文学一
玩易阁记
刘蓉
六经皆载道之文然诗书礼乐或出太史所采史官所记与学士大夫所辑录独易为圣人载笔之言又经秦火以卜筮不焚故于六经独为完书其言自天地阴阳名物象数以至人事之繁赜终始无所不备何为教之详欤盖伏羲氏始画八卦以着阴阳之象而已至文王周公始系之辞孔子又复引伸其义而人事备于下天道显于上圣人之心于是大着然而后之学者或诵其词而迷其旨溺其流而不识其精何哉圣人以忧患之心作之后世以浅易故常之心读之宜乎日用而不知矣昔者文王幽拘羑里周公徂东以避流言皆际人伦之奇变然所以处之无不曲当时义之宜孔子栖栖卒老于行而被谗于鲁受于陈蔡艰难困蹇之途殆非人世所尝遘者彼三君子皆躬圣者之资又备历屯邅如此则推人事之变迁祸福之倚伏以究天运循环阴阳消长往复迭胜之机其道万变而不可穷靡不假易以发之故其词艰危怵惕虽蹈常履顺于时大亨而动色致戒若深惧后世之迷焉者彼卦爻所值之时之位皆圣人所躬践而忧勤惕厉以出之故不觉言之深切而痛至也后人资或凡近又未尝身更其故其由之终身而不知其道者多矣顾欲窥测爻象役志冥求以达圣人之微旨岂不远哉予于此有默契焉故阁于居之北陈象与辞而熟玩之当其观变于阴阳也远而六合天地万物之情近则一身动静语默之节其伦自天子以至于庶人其类由家国而达之天下无钜不赅无微不入即后世更亿千年事变万歧而莫之或外何其深且博也道所为弥纶天地无闲于显微者乎及审卦爻之位以求时义之宜常变险易各有攸当虽吉凶悔吝之从其类厥归万殊然其为道求诸己而无望于人贞吾之常以听天之自至何其约而尽也君子所以素位而行无入而不自得者乎虽然吾观古人所以处困而亨履险如夷者莫不以刚健之德胜之至于祸福利害或有所不遑恤故曰吉凶者贞胜者也守吾贞而吉焉道之所以行也即其凶焉固未尝怀幸免之心惟义之安而无所于悔故曰知进退存亡而不失其正者其惟圣人乎老子惟不知此是以有专气致柔之说扬雄氏惟不知此是以有逊于不虞永保天命之言况其又下者乎嗟乎圣人忧世之心如此其切也垂训以诏来者如此其反复而曲至也后世践穷亨之途者不思贞吾德以胜之窥时俯仰懦缩诡随以侥幸一时之遇岂迷溺于老聃扬雄之教以汨其天乎抑利害祸福之见深中于人心之隐微则蹈其几者不谋而自合乎阳德之于人微矣柔道之牵往往从而痼之此从古人心变迁之常然恶知蔽陷沈沦之极而不知反也于虖圣人则既往矣忧勤之思更千世犹将不释予于易见其心焉书于阁所以志吾慨而着圣人为虑之远也
诗序汇说序
葛学礼张坚填讳
诗序汇说嘉定诸璞崦先生所辑也其书具载序语除人人诵习之经文集传外自汉唐以至 本朝凡诸儒之说之发明序意及虽非序意而说有可通者咸采摭焉先生自说则为案语盖以毛郑为宗而不事门户攻击者也或见而哂之曰序视经为重耶何详于序而略于经也余以为不然孟子曰说诗者不以文害辞不以辞害志以意逆志是为得之诗人之志在于序诚博观乎众说而曲折推寻豁然洞见作诗之本旨由是以求经之音训名物则彼此触发盖可以免拘牵之失而并自远于穿凿傅会之为世有泥于文辞而遂失其志者矣未有能得其志而犹艰于文辞者也且所贵乎学诗者为足以用世也故孔子之言曰诵诗三百授之以政不达便于四方不能专对虽多亦奚以为而可与言诗之子贡孔子亦以足食足兵民信奉使不辱君命期之岂非以治内治外兼需政事言语之才而为诗当得其要乎哉汉初学者独见此意故贾谊号能诵诗驺虞之说欧阳公本之以与毛郑立异而其为文帝策多积贮信威令移风易俗数大端其说乃一一精核匈奴患边至求典属国以制之虽其材有过人者亦由学之能举其大故也今试取周盛时及宣王中兴诸诗序反覆读之岂不犹隐然有动于中而不能自已乎然则先生此辑殆亦将为有用之学而不欲溺于世俗浮薄与一切标新领异支离破碎之说以负 朝廷教育之意也是为序
孟子要略序跋
曾国藩
朱子所编孟子要略自来志艺文者皆不着于录朱氏经义考亦称未见宝应王白田氏为朱子年谱谓此书久亡佚矣吾亡友汉阳刘椒云传莹始于金仁山孟子集注考证内搜出复还此书之旧王氏勤一生以治朱子之业号为精核无伦而不知要略一书具载金氏书中即 四库馆中诸臣于金氏集注考证为提要数百言亦未尝道及此书盖耳目所及百密而不免一疏事之常也观金氏所记则朱子当日编辑要略别为注解与集注闲有异同金氏于人皆有所不忍章云要略注尚是旧说桃应问曰章云要略注文微不同今散失既久不可复椒云仅能排比次第属国藩校刻以显于世抑犹未完之本与然如许叔重五经异义余隐文尊孟辨之类皆湮晦数百年矣一旦于他书中刺取掇零拾堕遂复故物则此书之出安知不更有人焉蒐得原注以补今日之阙乎天下甚大来者无穷必有能笃嗜朱子之书网罗以弥遗憾者是吾椒云地下之灵祷祀以求之者也
凡孟子书二百六十章朱子采入要略者八十五章其不入者都一百七十五章孟子之书自汉唐以来不列于学官陆氏经典释文亦不之及而司马光晁说之之伦更相疑诋至二程子始表章之而朱子遂定为四书既荟萃诸家之说为孟子精义又采其尤者为集注七卷又剖晰异同为或问十四卷用力亦已勤矣而滋又简择为要略五卷好之如此其笃也盖深造自得则夫泳于心而味于口者左右而逢其源参伍错综而各具条理虽以国藩之蒙陋读之亦但见其首尾完具而不复知衡决颠倒之为病则其犁然而当于人人之心可知已国藩既承亡友刘君遗令为之排定付刻因颇仿近思录之例疏明分卷之大指俾读者一览而得焉大贤之旨趣诚知非末学所可幸中犹未知于吾亡友之意合耶否耶死者不可复生徒使予茫然四顾而伤心也夫
新定鲁论语题辞
钟文烝
鲁论语自夏侯萧韦以来一变为张侯论而包氏周氏据之则以鲁兼齐说矣再变为郑本则以周之本兼齐古说矣三变为何本自宋至今之所承用则且以包周郑之本与孔马古文之本杂然混合矣夫汉代经师今文之学实胜古文而今文之传自鲁人者尤为可贵顾独于论语昧其朔焉将可乎哉窃谓何本论语其字句不尽鲁也其篇章则犹鲁也就其篇章审其字句斯后儒之责已岁甲戌门人沈善登请定鲁论语乃谨据隶释汉石经残碑之所存及经典释文郑注之所出并其记郑本异字梁武帝说等徧考而改之惟卅字卌字两处不依碑本加圈以为识赣字毋字斿字国字蘠字避字佚字志字有未敢径改者亦鑯圈其侧夫字宜删不删则识以长方又旁考盐铁论法言白虎通论衡潜夫论孟子注汉书后汉书魏志吴志及诸汉碑一一捃摭以还鲁学是书也虽未必尽如夏侯萧韦之旧而大较不相远矣易之为亦可以纠史记下之为趋可以通聘礼躁之为傲可以证荀子其他如贡为赣与为予燕为晏识为志芸为耘则皆用正字传为专抑为意乎为于赋为傅诲为悔荡为汤傩为献以为已饥为饥折为制算为选裨为卑慧为惠廉为贬窒为室呵为何坠为隧则皆今文家声义通借之字习小学者可以观焉至于鲁读无可考见者悉依何本而何本之不同有正义本有释文本有义疏本有外国足利高丽各本又有唐石经蜀石经本今各择善而从不拘一例往往以玉篇广韵众经音辨五经文字两汉书注文选注及唐宋诸类书之属参伍求之世有明眼人当不以专辄诮我
今文孝经十八章为定本说
艾承禧
孝经一书其出在汉初者祗有今文孝经自古文孝经出孔壁中而其文小异章数亦殊至刘向校书删其烦惑以十八章为定则孝经之宜从今文固也请得而申其说按孝经为孔氏遗书观孔子志在春秋行在孝经之言孝经一书实与春秋并重当秦代焚书其藏于民间者自非一二可尽况焚书距汉兴祗七年之近古文科斗之书在秦焚绝已久以河间颜芝所藏证之长孙氏及江翁后苍翼奉张禹等所说罔有异者如是而又何疑于今文且即古文可信而出自孔壁之说司马温公于孝经指解序中早已辨之又况孔壁尚书先儒或疑其伪不得以尚书同出之孝经偏信其真今试即章法求之其割裂无理每不若今文之通顺如庶人章分为二曾子敢问章分为三而增入闺门一章尤失圣人立言本意正义以为刘炫所分司马贞以为近儒妄作此传假称孔氏不特闺门章为伪撰即二十二章之篇段亦为妄分审是而古文均出附会其不足凭信也又明甚夫有汉校经之精首推刘向注经之确无若康成孝经注或疑非康成所为然小同亦衍康成之传刘郑既均以今文十八章为正其为定本固无可疑者唐开元中诸儒多排毁古文明皇亲注孝经删闺门一章而古文遂废可知自汉迄唐无不以今文为定本者
就度誉究畜五字分训五孝说卧庐文稿
孝经陈天子至庶人五等之孝其用各别其原不殊疏备引援神契以就度誉究畜五字分训五孝以古音论之此五字者皆孝字双声叠韵之字古书训诂往往如此而其义有可推言者天子孝曰就就成也言天子既极爱敬则德泽远被凡五等之孝皆赖之而成非若诸侯以下其分各有所限而教不能徧及天下也诗访落篇将予就之即率时昭考之道敬之篇日就月将即上企缉熙之学孝之言就其义固属之天子为合夫天子在上其法度莫敢不遵而惟诸侯最近天子之光节以制度故可议德行谨尔侯度故可质民人孝为德之本诸侯之所以和民人也苟不奉王度以承先业则其德不足服人即社稷亦难永保故经言谨度即以度为训若卿大夫章曰非法不言非道不行则法度之谨守当亦与诸侯同而云卿大夫行孝曰誉者盖言行寡尤远近咸服庶几无恶无斁以永终誉矣诗思齐古之人无斁郑笺引口无择言二句以明之择与斁通惟无斁斯能致誉也誉又为善声卿言章善大夫曰大扶进人夫至怨恶俱泯则善声章于天下而化人不善以导人为善其扶持引进之功不少矣至于孝道之行人以类推而义当兼尽惟士能研究于先而知资亲事君之道诗常棣是究是图皇矣爰究爰度究皆训谋有明审之义传曰通古今辩然否谓之士辩亦有究义夫究孝道之全不越爱敬而其事则在能养庶人行孝曰畜畜即训养礼祭统曰孝者畜也顺于道不逆于伦是之谓畜此言顺于德教非专以畜养为义也孔子言以畜万邦畜亦训孝然使万邦之人竞行孝道惟天子孝治为然又非庶人之所能及也然则孝之训畜何以属之庶人哉盖散文通言之五孝皆可训为畜对文析言之则庶人务农力穑食节事时以尽服劳奉养之道所谓小孝用力于畜义尤切近焉孝畜古同音孟子畜君训好君畜与好亦叠韵尔雅曰善父母为孝墨子经篇曰孝利亲也释名曰孝好也善与利与好皆同物也古人训诂之理此为最着
复李眉生书
曾国藩
接初三日手书藉审台候绥愉醇修日密公余读书日有常课欣慰无已承询虚实譬喻异诂等门属以破格相告若鄙人有所秘惜也者仆虽无状亦何敢稍怀吝心特以年近六十学问之事一无所成未言而先自愧赧昔在京师读王怀祖段懋堂诸书亦尝研究古文家用字之法来函所询三门虚实者实字而虚用虚字而实用也何以谓之实字虚用如春风风人夏雨雨人上风雨实字也下风雨则当作养字解是虚用矣解衣衣我推食食我上衣食实字也下衣食则当作惠字解是虚用矣春朝朝日秋夕夕月上朝夕实字也下朝夕则当作祭字解是虚用矣入其门无人门焉者入其闺无人闺焉者上门闺实字也下门闺则当作守字解是虚用矣后人或以实者作本音读虚者破作他音读若风读如讽雨读如吁衣读如裔食读如嗣之类古人曾无是也何以谓之虚字实用如步行也虚字也然管子之六尺为步韩文之步有新船舆地之瓜步邀笛步诗经之国步天步则实用矣薄迫也虚字也然因其丛密而林曰林薄因其不厚而帘曰帷薄以及尔雅之屋上薄庄子之高门悬薄则实用矣覆败也虚字也然左传设伏以败人之兵其伏兵即名曰覆如郑突为三覆以待之韩穿帅七覆于敖前是虚字而实用矣从顺也虚字也然左传于位次有定者其次序即名曰从如荀伯不复从竖牛乱大从是虚字而实用矣然此犹就虚字之本义而引伸之也亦有与本义全不相涉而借此字以名彼物者如收敛也虚字也而车之軨名曰收贤长也虚字也而车毂之大穿名曰贤畏惧也虚字也而弓之渊名曰畏峻高也虚字也而弓之拄弦处名曰峻此又器物命名虚字实用之别为一类也至用字有譬喻之法后世须数句而喻意始明古人祗一字而喻意已明如骏良马也因其良而美之故尔雅骏训为大马行必疾故骏又训为速商颂之下国骏厖周颂之骏发尔私是取大之义为喻也武成之侯卫骏奔管子之弟子骏作是取速之义为喻也膍牛百叶也或作月比或作毗音义并同牛百叶重叠而体厚故尔雅毛传皆训为厚节
南山之天子是毗采菽之福禄膍之是取厚之义为喻也宿夜止也止则有留义又有久义子路之无宿诺孟子之不宿怨是取留之义为喻也史记之宿将宿儒是取久之义为喻也渴欲饮也欲之则有切望之义又有急就之义郑笺云汉诗曰渴雨之甚石苞檄吴书曰渴赏之士是取切望之义为喻也公羊传曰渴葬是取急就之义为喻也至于异诂云者则无论何书处处有之大抵人所共知则为常语人所罕闻则为异诂昔郭景纯注尔雅近世王伯申箸经传释词于众所易晓者皆指为常语而不甚置论惟难晓者则深究而详辨之如淫训为淫乱此常语人所共知也然如诗之既有淫威则淫训为大左传之淫刑以逞则淫训为滥书之淫舍梏牛马左之淫刍荛者则淫当训为纵庄子之淫文章淫于性则淫字又当训为赘皆异诂也党训乡党此常语人所共知也然说文云党不鲜也党字从黑则色不鲜乃是本义方言又云党智也郭注以为解寤之貌乡射礼侯党郑注以为党旁也左传何党之乎杜注以为党所也皆异诂也展训为舒展此常语也即说文训展为转尔雅训展为诚亦常语人所共知也然仪礼有司展众币则展训为陈周礼展其功绪则展训为录旅契时庸展亲则展当训为存省周礼之展牺牲展钟展乐器则展又当训为察验皆异诂也此国藩讲求故训分立三门之微意也古人用字不主故常初无定例要之各有精意运乎其闲且如高平曰阜大道曰路土之高者曰冢曰坟皆实字也然以其有高广之意故尔雅毛传于此四字均训为大四牡孔阜尔殽既阜火烈具阜阜成兆民其用阜字俱有盛大之意王者之门曰路门寝曰路寝车曰路车马曰路马其用路字俱有正大之意长子曰冢子长妇曰冢妇天官曰冢宰友邦曰冢君其用冢字俱有重大之意小雅之牂羊坟首司烜之共坟烛其用坟字俱有肥大之意至三坟五典则高大矣凡此等类谓之实字虚用也可谓之譬喻也可即谓之异诂也亦可阁下现读通监司马公本精于小学胡身之亦博极众书即就通监异诂之字偶一抄记或他人视为常语而已心以为异则且抄之或明日视为常语而今日以为异亦姑抄之久之多识雅训不特譬喻虚实二门可通即其他各门亦可触类而贯彻矣
与朱仲我书
曾国藩
来函具悉所论转注谓戴氏专以训诂解转注义有未尽诚为确论至谓会意之老形声之考焯然已知而疑许氏合此二字为转注者为失之赘则窃以为为不可许君固非绝无可议者惟指考老为转注则在不可议之列尊意履本训践其所为践之具者为转注是以虚用者为本训实用者为转注凡古今文字何字不可虚实两用如屦字以实用者为本训而羽猎赋之屦般首则虚用矣舄字以实用者为本训而鲁颂之松桷有舄则虚用矣推之衣巾冠带皆实字也而孟子之衣褐周礼之巾车史记之冠玉月令之带弓则虚用矣宫室门户皆实字也而尔雅之大山宫小山左传之复室其子公羊之无人门焉者汉书之王嘉户殿门则虚用矣将循履字之例概以虚者为本义实者为转注乎抑有时以虚者命为转注乎曩常讥戴段二家以一部尔雅全目为转注以五百四十部首全目为转注以为何必六书祗此一书足矣今来函所述庭训其病殆亦近之不佞窃不自揆谬立一说笃守许氏考老之恉以谓老者会意字也考者转注字也部首之可指数者如犁部爨部酓欠部盐部弦部酉部皆转注之部也凡形声之字大抵以左体为母以右体之得声者为子而母字从无省画者凡转注之字大抵以会意之字为母亦以得声者为子而母字从无不省画者省画则母字之形不全何以知子之所自来惟好学深思精心研究则形虽不全意可相受如老字虽省匕字而可知考耋等字之意从老而来履字虽省去舟文而可知屦屐等字之意从屦而来豕木字虽省去豕字而可知囊橐等字之意从豕木而来(爿梦)字虽省去梦字而可知寤寐等字之意从(爿梦)而来推之犁爨画眉等部莫不皆然其曰建类一首者母字之形模尚具也其曰同意相受者母字之画省而意存也抑又有进者转注之字其部首固多会意者矣亦有不尽然者如盐从卤监声形声字也而所属盬硷等字仍不害其为转注之字酓欠从欠酓声形声字也而所属之歠仍不害其为转注之字至于酉者象形字也本不得目为转注之部特以酉字之才不足以统所属之字似应别立酒部而于酝酿醋醇醨等字增曰从酒省日皿声从酒省襄从酒省寿声昔声享声离声云云乃与全书义例相合盖此等字本不仅胚胎于酉字实由酒字贯注而来斯又许君所未指为转注而不害其为转注者也此说蓄诸鄙心历有岁年闲语朋辈疑信参半以生平于小学致力甚浅不敢有所造述因来函陈义颇坚辄复贡其肤末以相质证
风俗通义篇目考
陆心源
风俗通义隋书经籍志三十一卷注云录一卷唐书艺文志三十卷与隋志异盖隋志并录计之唐志不并录计之也至宋已无完书是以崇文总目所载惟十卷元丰中苏魏公以官私两本互校次为十卷即今所行本也见魏公集卷六十六嗣后郡斋读书志书录解题文献通考所载无过十卷者但风俗通原本虽佚而庾仲容子钞马总意林宋时尚有完书所录皆据三十卷本此见于广韵御览通志者所以多出今本外也嘉定钱晓征始有逸文之辑仁和孙贻谷继之卢弨弓又加考订刊入众书拾补中于应氏书逸文搜罗略备矣惟原书三十卷篇各有名今自十篇之外书亡而篇名亦亡虽以钱孙卢三君之博洽仅据太平御览续汉书五行志考得论数灾异两篇名其他未能详也愚以苏魏公集校正风俗通义序考之皇霸正失礼过誉十反声音祀典神怪山泽十篇之外其余篇名之见于意林者曰心政曰古制曰阴教曰辨惑曰析当曰恕度曰嘉号曰秽称曰恃遇曰姓氏曰讳篇曰释忘曰辑事曰服妖曰丧祭曰宫室曰市井曰数纪曰新秦曰狱法凡二十目合之今存十篇适得三十篇与唐书艺文志合御览所引论数当即数纪篇卢氏据续汉五行志增灾异一目恐未必然也叙又引意林所载析当篇云泰山太守臣劭再拜上书曰秦皇焚书坑儒六艺缺亡高祖受命四海乂安往于壁柱石室之中得其遗文竹朽帛裂残缺不备至国家行事俗闲流语莫能原察故三代遗輶轩使者经绝域采方言令人君不出户牖而知异俗之语耳凡九十字为众书拾补所遗故并录之
淮南子高许二注考
陆心源
隋书经籍志淮南子二十一篇许慎注又高诱注二十一卷新唐书艺文志同至宋而高许二注相混故陈氏书录解题谓今本题许慎注而详序文即是高诱殊不可晓嘉庆中庄逵吉重刊淮南子叙始谓后人误合两家为一混而不分似矣至据地形训大汾注与吕览注异俶真训剞劂注与本经训注异以证之则未知古人注书先后互异者甚多未可以为证也以愚考之高注十三篇自汉迄今无异许注二十一篇至北宋时存十八篇今惟存八篇何以明之高氏自序云弁揖借八篇刺之会揖身丧遂亡不得是诱在时已亡八篇矣隋唐以后何以反得廿一篇乎此高注原本有十三篇无二十一篇之明证也苏魏公校正淮南子序云是书有后汉太尉祭酒许慎东郡濮阳令高诱二家之注隋唐目录本别传行今校崇文旧书与蜀川印本暨臣某家书凡七部并题曰淮南子二注相参不复可辨惟集贤本前贤题云许标其首皆是闲诂鸿烈之下谓之记上高题卷首皆谓之鸿烈解经解经之下高氏注每篇之下皆曰训又多数篇为上下以此为异崇文总目亦如此云又谓高注更详于许氏本书文句亦有小异臣某据文推次颇见端绪高注篇名皆有故曰因以题篇之语其闲奇字并载音读许于篇下粗论大意卷内或有假借用字以周为舟以楯为循以而为如以恬为惔如此非一又其详略不同诚如总目之说互相考证去其重复共得高注十三篇许注十八篇此北宋时许注存十八篇之明证也余初读淮南子颇怪原道俶真天文坠形时则览冥精神本经主术泛论说山说林修务十三篇注何以详且有音读其余八篇注何以略且无音读截然如出两手及读苏魏公集且细绎高氏序而千载之疑乃释案原道俶真天文坠形时则览冥精神本经主术泛论说山说林修务十三篇每篇名注皆有因以题篇四字注中载音读如滑读曰骨哥读曰讴歌之类甚伙则此十三篇乃高注也谬称齐俗道应诠言兵略人闲泰族要略八篇篇下无因以题篇四字注皆粗解大意且无音读则此八篇乃许注也想魏晋以后因高书不全遂以许书补之犹范晔书无志以司马彪补之也故隋唐志皆云二十一卷许注略于高注后人喜详轻略高书行而许书遂微宋时尚存十八篇至明而十八篇亦不可见矣独怪孙氏星衍钱氏坫程氏敦庄氏逵吉于淮南书用功颇深但知二注之混而不知其混而实分则矜言汉学读书不多之弊也后有校正淮南子者于谬称八篇宜题曰许慎记上于原道等十三篇宜题曰高诱注斯乃高许之功臣矣
六朝经师宗派并所着经注经说考
姚文
儒者每谓汉人经学有师承魏晋以后无之以今考之斯言殊误曷证之隋书经籍志云孟氏京氏易有书无师夫既以无师别之则其余未亡诸家皆有师承可知矣难者曰李延寿南北史儒林传南略而北详北史传序述经师宗派断自徐遵明魏献之若谓皆有师承则其前何以不详曰此又误也北史儒林传序乃袭李百药北齐书儒林传序非延寿本文百药但为北齐诸儒推其渊源故举魏末大儒为断读史者不得据延寿探取之文谓可赅北四朝宗派正当因百药本文推以为例而知其余之亦有宗派也盖百药能溯源于魏末而魏收不能溯源于晋初沈约萧子显姚思廉不能溯源于汉末以来是可憾耳然散见列传犹有可考者如由献之上推则有程元由遵明上推则有张吾贵郦诠牛天佑又若沈麟士沈峻太史叔明沈文阿张及王元规等之授受贺道力贺瑒皇侃郑灼之传三礼张崖刘文绍咸之传三礼周宏正张讥陆元朗朱孟博之传授均散见本传惟欲上续两汉则魏晋间相传之绪阙不可考慨自正始以来士大夫崇尚虚无究经术者日以寡朝廷既不厝怀纪载因之阙略故儒林虽有宗派而国史多所不详固不得专咎陈寿诸人也李延寿云南北所为章句好尚互有不同江左周易则王辅嗣尚书则孔安国左传则杜元凯河洛左传则服子慎尚书周易则郑康成论南北宗派之殊此其大略按东晋时荀崧请置郑易博士不果而郑易遂微然书郑注春秋服义仍与孔杜并行故宋时裴駰作史记集解征引尚伙至陆氏释文始称尚书近惟崇尚古文马郑王注遂废释文作于陈末而曰近则郑义之废实在齐梁以后然春秋服义仍与杜氏并行陈书王元规传称自梁以来为左氏学者皆以贾服之义难杜凡一百八十条此其明证然则江左服郑之微亦有先后也至谓服郑行于河洛尤有未尽然者隋书儒林传于易则称河南及青齐间多主王辅嗣所注于春秋则称河外儒生俱服膺杜氏然则服郑行于河北不行于洛中而洛中之尊尚王杜实在江左之先且较江左为甚固无可疑者厥后隋氏自北并南而北学转微南学转盛岂非洛中都会之地久习王杜故耶延寿又云诗则并主于毛公礼则同遵于郑氏然叶遵于毛诗之外别树一帜议礼家于王肃之义参用亦多则延寿之言亦第举其概尔至南北朝人所着经注经说汇见于隋书及新旧唐书经籍艺文志杂见于经典释文叙录南北各史儒林传隐逸传散见于各史本传大抵隋志有而唐志无者十之五六唐志有而隋志无者十之三四而史传及陆氏叙录所载足补隋唐志之阙略者亦复不少按隋书作于贞观中而唐志实据开元四部贞观开元相去未远书或先存而后佚或先隐而后见参以史传互相校核适足以互相补苴固其宜也
顾各书同异歧出颇多有卷帙相同而书名各别者如崔灵恩传左氏条例十卷唐志崖灵恩春秋申先儒传例十卷凡此之类疑多同书异名有书名未改而卷帙顿殊者如顾彪尚书文外义隋志一卷旧唐志三十卷新唐志五卷凡此之类疑多分合增删之本惟宋明帝论语补卫瓘注隋志二卷唐志十卷证以陆氏叙录知唐志兼瓘原书数之而隋志专指补注此则可考其异同之故者矣外此卷帙差池者尚伙然钱宫詹廿二史考异称隋志毛诗义疏二十九卷沈重撰周书儒林传作二十八卷今按 武英殿本隋志实作二十八卷则知刊本多讹未必史文之同异参校转为多事矣若其所着经注经说之见于宋以后着录者关朗易传一卷见宋史艺文志晁氏读书志陈氏书录马氏文献通考任正一甘棠正义三十卷见宋志及崇文总目马氏通考刘炫春秋义囊二卷见宋志均史传隋唐志所未见者关书至今尚存已灼知其伪炫有春秋述义攻昧规过及杜序集解各书宋志所录疑后人拾其遗文辑为一书者玩囊字之义傥或然欤至任书裒然巨帙当时何至漏略崇文总目称孔氏正义申演其说不知何据殊未可臆断矣至其见于史传隋唐志而复见于宋以后着录者宋志最伙然多不传于今其传于今者庾蔚之礼论钞崔灵恩三礼义宗两书马作吾辑本各得三卷又非全帙其全帙具存者惟 四库着录之皇侃论语疏十卷然亦失而复得之本也至若庾蔚之丧服要记杜君卿载入通典太叔求诗谱注本欧阳公得诸绦州刘瓛易义张皋文辑入别录刘炫规杜卲氏瑛为之持平其余散见李氏周易集解陆氏经典释文及孔贾各疏者尚伙残膏賸馥亦复沾溉靡穷在嗜古者搜采而已此南北朝人所着经注经说之大略也夫所着各书即可考见当时宗派之得失故王光禄蛾术编颇有论列然其书既已不存惟是搜剔佚文议论长短未见其然兹故略焉是为考
拟汇刊宋人及 国朝人补历代史表志序
姚文
昔刘知几史通述史有六家而归于二体然编年一体匪无作者而相沿正史独用马班旧式窃尝以为疑反复思之乃知纪传可以赅编年而编年不能赅纪传何言之史汉首本纪本纪即史汉中之编年也若其举一朝之将相除拜封爵袭替而丝联绳贯以为之表罗一代之典章制度而使之各具本末以为之志则其开帙厘然有胜于编年家者是则编年家之所短而史汉之所长矣独怪后之作史者能取法史汉而仍舍史汉之所长如陈寿李延寿书皆无表志沈约萧子显魏收书及唐初所修各史皆有志无表旧唐书五代史亦如之其有志有表者又或详略失宜读史者病焉宋时丰城熊氏始有补史之书爰及我 朝作者尤盛方今粤东书局又有校补史志之议卷轴增益正未可量而先出者转已有散佚之患兹荟萃各种都为一编既以广其流传亦使究心史籍者无零星购觅之难也嗟乎以当时所阙略而出于后人之补苴其为益也已浅顾开帙厘然读史者宝之矣辄用龙门叙传例列其目如左
西汉郡国兵制孟坚附入刑法志京师卫士见于百官表不立兵志非疏阙也钱氏搜采本书使散者毕萃虽云借抒胸臆于史学亦有功矣录钱文季补汉兵志一卷
史之无表自后汉始不知东观记及谢承司马彪诸书固如是耶要之蔚宗有不得辞其咎者丰城补史之堂所由起也录熊广居补后汉书年表十卷
自蔚宗作俑继起者因之故十七史自史汉外惟新唐书有表余盖阙如四明万氏悉为补撰娲皇之石厥功伟矣录万季历代史表五十九卷
熊丰城书善矣然海昏不其寿亭各条 四库纠之后有作者削其瑕疵摭其未备以成一书抑亦丰城之功臣也录钱可庐后汉书补表八卷
魏收作魏书立官氏志托克托修金史立部族表有元起自北方宜同斯例而史臣阙焉是安可以不补录钱竹汀元史氏族表三卷
竹汀别有元史稿百卷可庐别有后汉郡国令长考一卷意其各有专精与汉圣唐监公媲美无难也况艺文一门尤钱氏所究心者录竹汀补元史艺文志四卷可庐补续汉艺文志二卷
目录之学史志最要然汉隋唐宋五书外无志此者今所采集与钱氏弟兄书相先后录倪璵士补辽金元艺文志一卷侯君谟补后汉艺文志四卷三国艺文志四卷
崔鸿作十六国春秋并为年表今久佚矣而后之作者复有斯制以司马子长十二诸侯六国年表及秦楚之际月表例之虽补入晋书可也录张庭硕十六国年表一卷
自汉以来言地理者宗班志司马彪续汉志差可继武嗣后众雄纠纷疆域割裂志之也愈难而志之者之且阙也弥甚有能究心于此而为其所难岂不可珍也哉录洪稚存三国疆域志二卷东晋疆域志四卷十六国疆域志十六卷
正史未有志僭伪疆域之例稚存十六国一种固不可以补入晋书然为其所难正于僭伪蜂起时见之有未可以常例拘者故因稚存书并录徐仲圃东晋南北朝舆地表若干卷刘孟瞻楚汉诸侯疆域志一卷
今隋书十志乃梁陈齐周隋五代史志史通古今正史篇可证则谓梁书无地理志不可也然晋书有地理志而稚存东晋一种史学家珍之况梁固未有专志乎录洪子龄梁疆域志八卷
郝冀公续后汉书有职官录然杂采史记前后汉书晋书之文纪载冗沓未可据为三国典要况班书百官表实承史记将相大臣年表之例后世史臣但为之志失初意矣录子龄三国职官表三卷
李延寿南北史无表志然沈约萧子显魏收及唐之史臣既各为之志矣则志固可以不补而表则必当补者也录周两塍南北史表六卷
尝怪司马彪志舆服沈约萧子显志符瑞祥瑞而食货兵刑之大阙焉轻重颠倒莫此为甚后汉南齐未有为之补辑者今录郝兰皋补宋书食货志一卷刑法志一卷
兵之有志始于新唐书自是乐清钱氏遂起而补汉书之阙趣数百年乃复有钱氏者起而补晋书之阙若有渊源者然录钱衎石补晋兵志一卷
凡宋人所补表一志一 国朝人所补表七志十有三合若干卷其有续出者惟当世君子共留意焉年月日某序
国朝文录自序
姚椿
自孔孟没而文与道歧汉唐以来离合参半至宋朱子出而始举道与文而一之其读唐志之文详哉有味乎其言之也有元逮明大旨不甚相悖 国朝儒者斟酌乎文与道之间其言曰以韩欧之文达程朱之理可谓正矣而或者曰是不可合合且两伤焉呜呼是岂真不可合与抑未深究乎本末轻重之说也国初诸家沿明季绪余尚未有以尽变中叶以来文事大兴然其途亦遂歧出矣综而论之要不可谓非一代之盛轨也夫朱子毕生研究文字其用功由致知格物入而又以尊德性与道问学并重是岂不足乎文者而其言如此亦可思其故矣夫形而下者谓之器今也以游艺而先乎据德依仁以文学而驾乎孝弟谨信是尚得谓知要者乎又其甚者駮杂以为博诋諆以为能而文之事益荡然矣蒙窃惑焉计自幼岁耽好文词茫乎未知大道之归也其后奉袂硕师饫熟余论有以知前修之不苟而向所采获复恐有所散失辄取而类之汰其繁芜去其复冗其意以正大为宗其辞以雅洁为主间小有出入要必于理无甚悖者然后辑焉愚鄙之识岂谓足以知诸君子之大且全而永其传顾或任其放轶亦非述信好古与夫不贤者识其小之意也于是合并为书凡八十二卷窃以为后之君子苟欲观历代之会通综 一朝之典要而求前古圣贤之遗意焉其亦将流览于斯
唐十八家文录序
张文虎
世人论古文辄曰唐宋八家又曰昌黎起八代之衰不知唐之与宋原委既殊门径自别非可概论至起衰之功断推元道州为首第其文散漫未立闲构若独孤梁权规模粗具而犹苦肥重惟昌黎氏原本六经下参史汉错综变化冠绝百世要其学出安定而实渊源于毘陵则未尝无所因也柳州初工骈体后乃笃志古文其才气陵厉足以抗韩至于学识根柢逊韩多矣同时若刘宾客才辨纵横间以古藻亦柳之亚元相滔滔清绝开宋人一派李皇甫皆学昌黎而一得其理一得其辞亦各自成门径牛相文笔刻露议论警辟沈下贤喜为小篇戛然自异杜牧之雄奇超迈实为苏氏先导孙可之源出韩氏而专务奇峭要其独至处不可及世以孙刘并称然复愚则近于险怪矣皮袭美根据深厚若在韩门当肩随习之陆鲁望不衫不履野趣自得颇有似元道州者罗昭谏怀才不试好为寓言出以过激每不中理然固唐一代人文之后劲也予录唐文凡十八家源流迁变概见于斯以破唐宋八家之说之固陋学者苟就其所近择途以从则当取全集而熟复之勿以方隅自画此外如萧茂挺李遐叔吕和叔非无杰构往往杂以骈语符厚之佳处不出独孤梁权范围李元宾奇伟而纯以辞胜未脱绮丽之习白傅平衍而不免于冗欧阳行周气息近古而所诣未成不能与李皇角立李卫公史论篇幅短隘盖无意为文故今所录皆不及云咸丰丙辰长夏
续古文辞类纂序
王先谦
自桐城方望溪氏以古文专家之学主张后进海承之遗风遂衍姚惜抱禀其师传覃心冥追益以所自得推究阃奥开设户牖天下翕然号为正宗承学之士如蓬从风如川赴壑寻声企景项领相望百余年来转相传述徧于东南由其道而名于文苑者以数十计呜呼何其盛也自圣清宰世用正风厉薄海者硕辈出讲明心性恢张义理厥后鸿生钜儒逞志浩博钩研训诂繁引曲证立汉学之名诋斥宋儒言义理者惜抱自守孤芳以义理考据有所归故其为文源流兼赅粹然一出于醇雅当时相授受者特其门弟子数辈然卒流风余韵沾被百年成就远大逐末者不闳而知道者常胜讵不信与道光末造士多高语周秦汉魏薄清淡简朴之文为不足为梅郎中曾文正之伦相与修道立教惜抱遗绪赖以不坠逮粤寇肇乱祸延海宇文物荡尽人士流徙展转至今困犹未苏京师首善之区人文之所萃集求如昔日梅曾诸老声气冥合箫管翕鸣邈然不可复得而况山陬海澨弇陋寡俦有志之士生于其间谁与祓濯而振起之乎观于学术盛衰升降之源岂非有心世道君子责欤惜抱古文辞类纂开示准的赖此编存学者犹知遵守余辄师其意推求义法渊源采自干隆迄咸丰间得三十九人论其得失区别义类窃附于姚氏之书亦当世着作之林也后有君子以览观焉
附例略
论辨类元六十五续四十一序跋类元五十八续一百四奏议类元八十三续无今之奏议要在明切事理古义美辞所弗尚也体既专行不入兹录书说类元八十五续书六十四说无赠序类元五十三续二十七诏令类元三十六续无传状类元十八续三十三碑志类元一百续八十杂记类元七十六续七十五箴铭类元二十四续九赞颂类元六续赞六颂无辞赋类元五十八续无风雅变体取工骈俪国朝诸家尤罕沿袭间有述作不复甄采哀祭类元三十八续十七
纂集断自干隆以降故姜坞梅崖与焉姬传受业姜坞复与殿麟悔生师海台山絜非师梅崖硕士学于絜非更事姬传姬传之徒伯言异之孟涂植之最着硕士行辈差先伯言其年家子异之典试所得士也仲论春木生甫出姬传少后姜坞曾孙硕甫亦姬传高第弟子而名业特显不徒以文称秋士品诣孤峻尺木其族子究心理学尤与台山善子居皋文私淑海同拔起者小岘祁孙其尤也湘皋善硕甫而与星叔相先后月沧归向桐城尝问道于仲伦春木以所学倡于粤西其乡人伯韩子穆翰臣定甫亦请业伯言子序通甫位西子余皆从伯言讲论者也石州以朴学鸣与伯言论不合鲁川兼师两人异之子小异传父业而早卒植之之门惟存庄着称焉曾文正公亟许姬传至列之圣哲画像记以为粗解文章由姚先生启之也然寻其声貌略不相袭道不可不一而法不必尽同斯言谅哉南屏沈思孤往其适于道也与姚氏无乎不合学者读文正欧阳生文集序及南屏与筱岑论文派书百余年文人承嬗离合略可矣
自惜抱继方刘为古文学天下相与尊尚其文号桐城派当海之世有钱伯垧鲁思从受其业以师说称诵于阳湖恽子居武进张皋文子居皋文遂弃其声韵考订之学而学古文于是阳湖古文之学特盛陆祁孙七家文钞序言之此阳湖为古文者自述其渊源无与桐城角立门户之见也立言之道义各有当而已愚柔者仰企而不及贤知者则务为浩侈不肯自抑其才姚氏见之真守之严其撰述有以入乎人人之心如规矩准绳不可踰越乃古今天下之公言非姚氏私言也宗派之说起于乡曲竞名者之私播于流俗之口而浅学者据以自便有所作弗协于轨乃谓文派别焉耳近人论文或以桐城阳湖离为二派疑误后来吾为此惧更有所谓不立宗派之古文家殆不然与
昔尝病孙与可之与友人论文书称其所受真诀自来无择皇甫持正上溯昌黎称举至再如小儿得饼矜衒不已皇孙二家文集视昌黎相去何如览者自得之来氏泯无闻焉可之自鸣非笃论也惜抱振兴绝学海内靡然从风其后诸子各诩师承不无谬附孟长卿言田生枕传经祗以取讥同门若文章之事高下粲殊开卷即得无待证明也梅氏浸淫于古所造独为深远其志固不屑争得失于一先生之前矣曾文正公以雄直之气宏通之识发为文章冠绝今古其于惜抱遗书笃好深思虽謦欬不亲而涂迹并合学者将欲杜歧趋遵正轨姚氏而外取法梅曾足矣其余诸家骈列所得洪纤各不相掩仆有恒言文士毕生苦志身后之名后来者当共护惜之苟有可取弗遽抹杀区区寸抱幸高识者谅焉
书法言后
方东树
退之论文屡称扬子而不及董子盖文以奇为贵而董子病于儒余闻之刘先生说如此然窃以为退之所好扬子文亦谓其赋及他杂文耳若法言太元理浅而词艰节短而气促非文之工者也退之所好不在此夫立言者皆欲其不弃矣而不能为不可弃者理不当而辞不文也文其辞而无当于理者有之矣未有当于理而其辞不文者也扬子徒知为不可弃而不务培其本毕生用力造字句已耳或日扬子成太元桓谭以为后世复有子云者必能好之及宋司马温公果笃嗜其书意者其奥而世鲜知耶余曰不然夫孟荀扬韩虽并称然孟氏之道班于圣人今读其书充然沛然高下曲折涵天地而无极指事而无不尽焉曷尝待于入黄泉出青天若扬子之所为耶夫以扬氏书与孟氏相比差等殊绝若河潦之不可同观如彼而司马氏犹非孟子而尊扬子是尚得为知言乎哉又按昔东坡不喜法言海谓韩公好太元法言故其文字句奇二说皆是学者宜互参之
文论卧庐文稿
有学人之文有才人之文学人以学问熔性情其为文也与天地同其节才人以学问舒性情其为文也与天地同其变与天地同其节者烟景必于春雷霆必于夏风霜必于秋冰雪必于冬其性情所发常得天地之正气故立言平粹有甄陶万世之功与天地同其变者春云煦物忽而电掣风驰秋涛卷空忽而水清石瘦才人之文不必尽衷诸道而天下古今之情变则固腹存手集而有震动一世之神如天地之大寒暑灾祥变亦不失其正也才人为文当去其嫚之词而不当抑其激昂之气学人为文当务为练达人情之学而不可存偏执一己之心激则可挽颓波而行山练则不至坐幽室而谈道扶世立教其功必要诸此此文所以为天地之心也
答东洋近出古书问
姚文栋
中国之通日本始于秦迁史言始皇遗徐市即徐福发童男女数千人入海求仙人又徐市尝称海中有三神山其后实至日本今纪伊国有徐福祠熊野山有徐福墓此其证也日本之通中国始于后汉范书言建武中元委奴奉贡朝贺光武赐以印绶所谓委奴者亦即日本近时筑前人掘土得汉委奴国王印此其证也徐福东渡时齎书与否盖不可考彼国史称有典坟殆因中土有此名而附会之未有人见其书也欧阳公日本刀歌云徐福行时书未焚逸书百篇今尚存令严不许传中国举世无人识古文此亦好古想像之词耳据源光囗(八方)大日本史应神十六年征王仁于百济始有论语千字文此钟繇千文继体七年十年百济遣五经博士段扬尔又遣汉安茂始有五经日本纪以礼乐书论语孝经为五经古语拾遗曰上古之事口耳相传而已自王仁来人始识字按日本通百济其时当中国南北朝之季而陈寿志有亲魏倭王之北史云其后并受中国爵命江左历晋宋齐梁朝聘不绝则是中国汉以后频与日本往来而未有一书出海考之彼国史而可知也隋炀帝时日本遣大礼小野妹子隋书云苏因高即其人来聘妹子归奏曰臣之还隋书授臣以书臣船经百济百济逼臣夺书此为中国书东流之始自后遣唐之使相望于道又频遣留学生来唐由是其国书籍渐富然彼史无艺文志无由考知其书目及诸书存佚聚散之由至宋书称日本僧然献郑注孝经又然述其本国之书内有文馆词林宋人不知其名误馆为观事见宋朝类苑引杨亿谈苑意中国经五代之乱书多散亡转有藉日本以流传者矣然日本自保元平治而后武门争权源平二氏日寻战区宇云扰书多毁于兵燹其时赖以绵一之传者惟僧人耳越九百余年德川氏兴而文治复盛学校书库之设徧于各藩昌平学足利学枫山官库伊势林崎文库其藏书尤伙者也一时学士大夫渐摩风气无不知贵重古本如狩谷氏求古楼小岛氏宝素堂福井氏崇兰馆新见氏赐芦文库曲直濑氏怀仙楼山田氏九折堂增岛氏竹荫书屋江氏容安书院塙氏温古堂多纪氏三松斋伊泽氏酌源堂海保氏传经庐松碕氏石经山房奈须氏久昌院皆海外铮铮有声者近世书目家前有藤佐世之日本现在书目又有今人森立之之经籍访古志觕足以资考证立之云彼国所传古钞本具存隋唐之旧为宋元人所不能睹者盖不下数十百种至于宋元板及朝鲜刊本为明以来诸家所未睹者尤指不胜屈一一能征其言颇非夸诞然其书散在各方艰于搜采而明治维新以后西学兴而汉籍替世禄废而学士贫将不能保其所有其流落妇于澌灭者翘足可待也光绪三年番禺何公使日本访搜佚书无所获然日人知中国之求之也乃稍稍出其所有以闻于世今星使遵义黎公复搜之未一年间不胫而至者殆及二十种则将来之续有所获益未可限量矣
瀛环志略自序
徐继畲
地理非图不明图非履览不悉大块有形非可以意为伸缩也泰西人善于行远帆樯周四海所至辄抽笔绘图故其图独为可据道光癸卯因公驻厦门晤米利坚人雅裨理西国多闻之士也能作闽语有地图册子绘刻极细苦不识其字因钩摹十余幅就雅裨理询译之粗知各国之名然卒不能详也明年再至厦门郡司马霍君蓉生购得地图二册一大二尺余一尺许较雅裨理册子尤为详密并得泰西人汉字杂书数种余复搜求得若干种其书俚不文淹雅者不能入目余则荟萃采择得片纸亦存录勿弃每晤泰西人辄披册子考证之于域外诸国地形时势稍稍得其涯略乃依图立说采诸书之可信者衍之为篇久之积成卷帙每得一书或有新闻辄窜改增补稿凡数十易自癸卯至今五阅寒暑公事之余惟以此为消遣未尝一日辍也陈慈圃方伯鹿春如观察见之以为可存为之删订其舛误分为十卷同人索观者多怂恿付梓乃名之曰瀛环志略而记其缘起如此
附凡例
一此书以图为纲领图从泰西人原本钩摹其原图河道脉络细如毛发山岭城邑大小毕备既不能尽译其名而汉字笔画繁多亦非分寸之地所能注写故河道仅画其最着者山岭仅画其大势城邑仅标其国都其余一概从略
一此书专详域外岭之东外兴安岭之南五印度之北一切蒙回各部皆我国家候尉所治朝鲜虽斗入东海亦无异亲藩胥神州之扶翊不应阑入此书谨绘一图于卷首明拱极朝宗之义而不敢赘一辞
一南洋诸岛国苇杭闽粤五印度近连两藏汉以后明以前皆弱小番部朝贡时通今则胥变为欧罗巴诸国埔头此古今一大变局故于此两地言之较详至诸岛国自两汉时即通中国历代史籍不无纪载然地名国号展转淆讹方向远近亦言人人殊莫可究诘转不如近时闽粤人游南洋者所纪录为可据此书于南洋诸岛国皆依据近人杂书而略附其沿革于后五印度现为英吉利属部皆依据泰西人书其历代沿革过于烦琐且半涉释典仅于篇中略叙数语以归简净
一西域诸部迄南之波斯天方诸国泰西人绘有分图其岭之西里海之东波斯爱乌罕之北峨罗斯之南泰西人绘为一图总名为达尔给斯丹斯丹一作士丹西域言国主也元史讹为算端又作算滩乃古时康居大夏大宛大月氏奄蔡诸国历代变更沿革乱如棼丝近世士大夫从军西域者亦多所撰述今止就见于官书者约略言之不敢涉考据之藩篱亦聊以藏拙云尔
一日本越南暹罗缅甸诸国历代史籍言之綦详今止就其现在国势士俗立传而略附其沿革于后至欧罗巴阿非利加亚墨利加诸国从前不见史籍今皆其立国之始以至今日其古时名国如巴庇伦今土耳其东土波斯即今波斯希腊今土耳其西土犹太即拂菻今土耳其东土罗马即大秦今意大里亚列国厄日多即麦西在阿非利加北境非尼西亚即加尔达额在阿非利加北境之类皆别为一传附于今本国之后庶几界画分明不涉牵混
一泰西诸国疆域形势沿革物产时事皆取之泰西人杂书有刻本有钞本并月报新闻纸之类约数十种其文理大半俚俗不通而事实则多有可据诸说闲有不同择其近是者从之亦有晤泰西人时得之口述者凑合而敷衍成文期于成片段而已取材既杂不复注其出于某书也
一泰西人如利玛窦艾儒略南怀仁之属皆久居京师通习汉文故其所着之书文理颇为明顺然夸诞诡谲之说亦已不少近泰西人无深于汉文者故其书多俚俗不文而其叙各国兴衰事蹟则确凿可据乃知彼之文转不如此之朴也
一外国地名最难辨识十人译之而十异一人译之而前后或异盖外国同音者无两字而中国则同音者或数十字外国有两字合音三字合音而中国无此种字故以汉字书番语其不能合者本居十之七八而泰西人学汉字者皆居粤东粤东土语本非汉文正音展转淆讹遂至不可辨识一波斯也而或译为白西转而为包社巴社讹而为高奢余尝令泰西人口述之则曰百尔设又令其笔书之则曰比耳西今将译音异名注于各国之下庶阅者易于辨认然亦不能遍及也
一泰西人于汉字正音不能细分斯也士也是也实也西也苏也混为一音而剌与拉无论矣土也都也度也杜也多也突也混为一音而撒与萨无论矣故所译地名人名言人人殊
一泰西各国语音本不相同此书地名有英吉利所译者有葡萄牙所译者英人所译字数简而语音不全葡人所译语音虽备而一地名至八九字诘屈不能合如花旗之首国英人译之曰缅葡人译之曰卖内卖读如美内读如呢今姑用以纪事无由知其孰为是非也
一地名中亚字在首者皆读为阿在尾者多读为讶加字多读为嘎平声亦有读为家者内字皆读平声音近尼字读如诃
一各国正名如瑞国当作瑞典嗹国当作嗹马西班牙当作以西把尼亚葡萄牙当作波尔都噶亚然一经更改阅者猝不知为何国故一切仍其旧称
一外国地名人名少者一字多者至八九字绝无文义可循数名连写阅者无由读断今将地名人名悉行钩出间加圈点以醒眉目明知非着书之体姑取其便于披阅耳
日本国志凡例甲申九月
姚文栋
一编次 全书分为十卷第一卷总附东西两京第二卷畿内第三卷东海道分上下两卷第四第九卷仿此第四卷东山道第五卷北陆道第六卷山阴道第七卷山阳道第八卷南海道第九卷西海道第十卷北海道每道以国为纲每国首疆域次形势次沿革次郡数次户口次田圃次租税次府县治次军镇次学校次名邑次山岳次原野次河渠次湖沼次港湾次岬角次岛屿次暗礁次灯台次灯船次浮标次工场次物产分为二十四门其经纬幅员建置治体皇宫官省军舰炮台开港铁道电机邮便各门则总载于首卷中至古蹟名区无关政治者均不采录经始于光绪八年正月至九年十月告成
一事物异称 日本一里或云当中国十里或云六里零其里法六尺为间六十间为町三十六町为里田亩之制一间平方为步三十步为亩十亩为反十反为町又街亦曰町市集曰各邑书信局曰邮便外国租界曰互市场船埠曰波止场此类不可枚举其地名人名多有杜造之字为中国字典所未载者如十山(上下)中囗(八方)米叉之类今悉仍之以见一隅风气
一采用书籍 内务省地理寮及东京地学协会藏贮地志书最多惟皆倭文无全汉文今者将采译书目录于后日本风土记五十卷民部省图帐二卷皆官书大八洲记十二卷梨本佑之撰天保乡帐无卷数官书舆地实测录十三卷伊能忠敬撰日本地志提要七十七卷国势要览二卷皆官书 以上总国五畿内志六十卷关祖衡撰迁都考证一卷望月纲撰〕雍州府志十卷黑川道佑撰摄阳众谈十卷冈田徯志撰 以上畿内三国地志百十二卷藤堂元甫撰五铃遗响八十卷安冈亲毅撰尾张志六十卷深田正韶撰骏国杂志四十九卷阿部正信撰骏河新风土记无卷数新庄道雄撰骏河志料七十九卷新宫道平撰甲斐国志百二十三卷松平定能撰豆州志稿十三卷秋山章撰新编相模风土记稿百二十五卷官书新编镰仓志八卷河井恒久撰新编武藏国风土记稿二百六十五卷东京府志料百二十卷皆官书新编常陆国志六十三卷中山信名撰 以上东海道近江舆地志略百卷寒川辰清撰飞州志十二卷长谷川崇忠撰白川风土记三十三卷新编会津风土记百二十卷皆官书新撰陆奥国志九十卷士岸俊武撰 以上东山道三州志四十卷富田景周撰若耶众谈二卷撰人不详足羽县地理志无卷数官书 以上北陆道因幡志三十七卷安倍维亲撰云阳志十四卷黑泽宏忠撰怀橘谈二种撰人不详 以上山阴道作阳志六卷江村宋普撰东作志四十五卷正木辉雄撰备阳记三十五卷石丸定良撰冈山县里程经纬周围录一卷官书备前略史二卷成田元美撰福山志料三十五卷吉田丰功撰艺藩通志百五十九卷官书 以上山阳道日本国地方铭监一卷安冈百树撰纪伊续风土记九十七卷附录九十四卷官书阿波志十二卷藤原宪撰赞岐志十卷尾原景惇撰西赞府志六十卷秋山维恭撰西条志二十卷官书南路志百二十卷武藤致和撰 以上南海道地理纂考二十八卷官书太宰管内志八十二卷伊藤常足撰筑前续风土记二十八卷贝原笃信撰丰后国志九卷唐桥世济撰长崎志十六卷田边茂起撰续长崎志十三卷小原克绍撰肥后国志无卷数森一瑞撰壹岐续风土记百十七卷吉野秀正撰 以上西海道边要分界图考七卷近藤守重撰虾夷志料二百九卷官书 以上北海道共九十九部又有朝鲜书海东诸国记二卷亦资参考焉
一参订姓氏 塚本明毅中根淑皆静冈人北泽正诚长野人柳楢悦三重人川田刚荒井郁之助冈本监辅皆东京人藤野正启爱知人铃木大亮冈千仞木材信卿皆仙台人小牧昌业鹿儿岛人以上诸人或熟悉方舆或谙习掌故随时咨访纠正良多
一未备 此编之外有矿产考海陆驿程考火山温泉考皆别为专书故卷中不列一字又有年号表及注明险要地图为此书之辅均因时日迫促厘订未就又如军政官制刑法食货等皆其立国之要务考索所不容遗也后之君子尚其补诸
皇朝经世文续编卷六
上海葛士浚子源辑
学术六文学二附算学
新译几何原本序代曾文正公
张文虎
几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰闲海甯李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书予曰此算学家不可少之书失今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻本纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之盖我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法刱而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相叠而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于众籍者欤
象数一原序一
项名达
方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵先生捷法解释焉而未抉其原当自为一书非正释也自董氏术出而方圜率相通之理始显术凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢审定乘除法以明率数倍分率圜所以通方也析分率方所以通圜也其释倍分率以方锥堆而方锥堆实出于三角堆弦之二率即两堆根相并数四率即两立积相并数矢之三率即两平积相并数五率即两三乘积相并数四五率以下多乘积以还莫不如是故递次乘除皆求堆积法也而即以之求弦矢弦之分有奇无偶矢之分奇偶俱全至析分率则三角堆无其数即假倍分之率较量而反释之可为独具只眼矣所疑者堆积既与率数合何以有倍分无析分倍分中弦率又何以有奇分无偶分且弦矢联于圜中于三角堆何与蓄是疑有年丁酉归自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆数起于一递加一得堆根递加根得平积递加平积得立积盖递加数也弦矢率由圜中两等边三角挨次比例而生亦起于半径之一半径即一率递加一率得二率递加二率得三率递加三率得四率亦递加数也数有整必有零起整分者曰整数递加祗一式即三角堆相连两根积相并与倍分矢率倍分中奇分弦率等数起零分者曰零数递加有无量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率实参列其间不惟若是倍分者一分弧之几常以一为分母析分者几分弧之一常以一为分子今得零分则分子母不必定一任设几分弧之几无不可求因立此弧求他弧两术以补所未备又不惟若是分子母既可任设则六十度通弦倍矢与半径等诸率齐同取为分母任设某度为分子并诸率本数可省去不求但求递加差数即得逐度分秒之通弦倍矢亦即得逐度分秒之正弦正矢因更立半径求弦矢两术以备制表之用似便于用弧约言之弦矢诸率其比例生于两等边三角其数本于递加两等边三角尖象也递加数尖数也通方圜必以尖故自来割圜术不离勾股而得其象未得其数取数不无繁重自有零整分递加而后象与数会分于是定率亦于是通分即递加数之根率即递加数之积分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶应乎内方就圜也割圜术至此始无余蕴爰乘数月暇着为图说二卷友人王子琴逸嗜算术遍涉中西见是术爱之欲与杜董术合刊为一册嘱余序其大意余因详术所由不嫌辞费者亦以此通贯方圜之率非董氏理无自彰非杜氏法无自立非勾股割圜等法以为导亦无自察象稽数以底于至精然则古人创始之难其可忽哉
象数一原序二
项名达
向玩弦矢诸率会得递加数复析圜得两等边三角其象适与数会因草成图解一册聊自达意而脱甚多丙午冬谢去紫阳讲席笔墨就闲渐编定整分半分起度两种弦矢率而梁楚香中丞复以紫阳大小课艺嘱选辞不获遂又见阻杨缃芸农部在京见旧刻割圜捷术序中言及图解亟思一见丁未冬来杭见访因示以所编缃芸谓书未半而君年垂迈是书断不可不成且不可缓成克期以一载临别尚谆切致嘱余感其意为之定书名曰象数一原卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦矢率论卷五曰诸术通诠卷六曰诸术明变随将卷三编定选课毕复阻于病今夏始将卷四着有六纸不料病躯重感湿热兼肝乘脾几不可救医治两月无起色乃又重感燥火致脏腑无不病者遍体血脉不行医尽束手自知残灯微焰断难久延而是书从此搁笔矣缺而不完世间事大都如是何必恋恋所歉者负缃芸谆嘱之心耳然书虽未完而零分各腰率零分递加数卷三中已衍成其式惟义赜绪繁拟分条详论于卷四业论至易率法之相当率寄分毕则论用率寄分论定率寄分皆宜分别奇偶论之而易率法毕次论衍递加数法亦论寄分论子母论正负论奇行偶行积子母互异论直行并行积子母互异而递加数毕次论递加数即各形腰率而正负不同论心角形腰与腰较率正负相反论并积即弦矢率易正负有定法论矢率弦率子母全半之不同而弦矢率毕末乃依半分起度式分六术以明其算特彼论全半此论子母异同处略一分别可也至卷五卷六皆有旧稿且经编定只须照式录之今将各卷总为一束设有本鄙意而续成者惟条论稍难六术则易于从事无续成者卷四作未完之书亦无不可
对数简法跋
项名达
求对数旧法言之綦详而数重绪多初学恒未易了鄂士先生揭其精要而变通之着为对数简法首论开方自浅入深而约以七术继复立累除法省数十次开方用表已备极能事尤妙者舍开而求假设数夫对数折半真数开方开至单一下空多位之零数于是真数对数遂得其会通此开方所由重也顾必累开不已始得会通何如迳就会通处假一数以通之迨展转相通而七十二对数之等差已备具于假设诸数中一比例而定准之数出矣以是知数之为用带零求整难设整御零易凭所知课所求顺推而入难借所求通所知逆转而出易苟悟此可以得用数之方岂惟是对数一门有裨后学耶
对数简法识
戴煦
对数以加减代乘除用之甚便而求之甚难旧法求诸对数皆先求自一至九递至单一下九空位零一至九之九十九数而求之之法大略有三先定十百千万之对数而其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方得中率之真数以首率末率两假数相加折半得中率之假数渐求渐近以至适合如旧法求九之假数用中比例求至二十六次而得八位之对数此一法也凡假数之首位因真数之位数而递加以真数递次自乘至多位而其位数即假数首位以前之数然后以自乘第几率除之即得真数第一率之假数如旧法求二之对数自乘至一千三百余亿率除自乘之位数四百十余亿位而得十二位之假数又一法也既定十之对数为一乃以真数十开方五十四次三十三位以假数折半五十四次为逐次假数列为开方表乃以第五十四次真假两数比例得单一下十五空位零一之假数为率于是以应求对数之真数开方四五十次求得十五空位与为比例然后以开方第几次之率数乘之而得二十二位之假数或真数开方二十余次求得九空位与表内九空位开方数为比例亦以率数乘之而得十三四位之假数如旧法求二与六之对数又一法也顾此数法布算极繁甚至经旬累月而不能竟求一数故言算者鲜不望之而生畏夫立法太繁则较算不易深虑寖久而失其真也因复详加探索始悟求十一二位之对数开方表祗须二十一次一十四位已属敷用而既有开方表则求诸对数可不必更开方较之旧法省算数倍且不特此也凡诸对数皆定于十之对数而实生于单一下五六空位零一之对数今欲以十之对数求单一下五六空位零一之对数势不得不屡次开方若借一算为单一下五六空位零一之对数转求十之借数即可得其比例之率知累除之法可代开方而用二十一次之开方表犹属舍易求难然是术也立法殊简用意非深西士若往讷白尔之徒既能刱立对数虑无有不知此者意者彼时欧逻巴人故匿其易而衒其难以夸中土欤兹为揭出俾求对数者有取焉
续对数简法
戴煦
前岁之秋予以对数简法呈梅侣项先生翼日谓予曰递求数可开平方亦可开诸乘方会得二术属稿未定予归而思之亦得二术以呈先生而先生亦以定稿见示其逐数皆正一术与予正负相闲者不同其第一数正而以下皆负一术则若合符节焉于是开诸乘方遂有三术予思既有三术必更有一术因补衍之将呈先生而先生适以补衍一术见示又若合符节焉惟先生以乘数加一为廉率谓诸乘方第一廉与末一廉之数也而予以连比例率推之复一一合因以其法用代累乘求积亦无不可通乃知廉率本生于连比例率也夫对数开平方多次以开方旧法至十二乘已属繁重断难开至亿兆乘故以平方代开耳今开诸乘方既通为一法可不必代开由是因繁得简复推得开极多位九乘方之法而对数之简法出矣盖前术用假设对数乃立天元一术即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法为母今须累除数百次则寄母极繁不可算不得不径用除法既用除法则数百次之畸零累积其差甚大故难求至多位不如连比例递求数之所差极微也至对数还原即代累乘求积之法而变通之因亦类焉
对数生于连比例率如设一数为本数第一率命为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然折小各率则不然盖倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如０五即折小第二率之率数０三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数第一率为一０故一０之对数为一即一率之一而一００为本数倍大第二率其对数亦为二一０００为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一０以下自二至九则不满一率故对数首位为０而下带畸零一０以上一００以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣
倍大率
率数
一０００
二０００
三０００
四０００
五０００
六０００
七０００
八０００
九０００
十０００
一率
方根
二率
平方积
三率
立方积
四率
三乘方积
五率
四乘方积
六率
五乘方积
七率
六乘方积
八率
七乘方积
九率
八乘方积
十率
九乘方积
率分
一０００
０五００
０三三三
０二五０
０二００
０一六六
０一四二
０一二五
０一一一
０一００
折小率
率数
一０００
０五００
０三三三
０二五０
０二００
０一六六
０一四二
０一二五
０一一一
０一００
一率
方积
二率
平方根
三率
立方根
四率
三乘方根
五率
四乘方根
六率
五乘方根
七率
六乘方根
八率
七乘方根
九率
八乘方根
十率
九乘方根
率分
一０００
二０００
三０００
四０００
五０００
六０００
七０００
八０００
九０００
十０００
以本数为积求折小各率
第一术
法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正 次以本数为除法以初商实减本数其减余数为乘法其所求第几率名为率分乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正以乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正 如是递求至应求位数乃并诸正数得所求
按此术项氏所定
第二术
法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正 次以初商实为除法以初商实减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正 乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负 乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负 如是递求至应求位数乃并诸正数并又诸负数减之得所求
按此术予所定
第三术
法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正 次以初商实为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负 乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负 乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负 如是递求至应求位数乃并诸负数减第一正数得所求
按前开平方七术即此法
第四术
法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正 次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负 乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正 如是递求至应求位数乃并诸正数又并诸负数减之得所求
按前二术予所定与项氏所定暗合
以本数为根求倍大各率
第一术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正 次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃并诸正数得所求
第二术
法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正 乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃并诸正数得所求
第三术
法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正 次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正 如是递求至率数减尽而止乃并诸正数又并诸负数减之得所求
第四术
法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正 次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃并诸正数又并诸负数减之得所求
按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也
又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除
论对数根
戴煦
对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一０为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一０为积开方五十四次即以一０为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也盖一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也
今定一０之对数为单一求对数根
法先以一０开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四０三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法为递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六为第一数正 除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０为第二数正 除法除第二数二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二为第三数正 除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五为第四数正 除法除第四数四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三为第五数正 如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正 三五五四六一六三一三为第七数正 二一五九四一０四六为第八数正 一三三二六五三０为第九数正 八三二七一０为第十数正 五二五五七为第十一数正 三三四五为第十二数正 二一四为第十三数正 一四为第十四数正 一为第十五数正 乃并诸正数得二三０二五八五０九二九九四０四五七七为首率单一为中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即对数根也
用数 一０七四六０七八二八三二一三一七四九七
除法 一四四０三四一九二一八八六八六五三九
第一数 二二二一六九四六九０二四九六三二六六 除法除之一乘二除得
二 七七一二三八六四０一０六七八三０ 同 二 三
三 三五六九七０一六四九二五一二二 同 三 四
四 一八五八七七八二四九九八０五 同 四 五
五 一０三二四０九四四二０八三 同 五 六
六 五九七三一七三三七四一 同 六 七
七 三五五四六一六三一三 同 七 八
八 二一五九四一０四六 同 八 九
九 一三三二六五三０ 同 九 十
十 八三二七一０ 同 十 十一
十一 五二五五七 同 十一十二
十二 三三四五 同 十二十三
十三 二一四 同 十三十四
十四 一四 同 十四十五
十五 一
并得数 首率 二三０二五八五０九二九九四０四五七七
中率 一
末率 ０四三四二九四四八一九０三二五一八一一
按此即以一０为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣且非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子并此减差而无之盖稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方并此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六位若欲增求一位必须再开三四次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名为折小第一无量数率耳
论用数
戴煦
前言有本数求折小第一无量数率可以径求此立法也而法有所穷必须先求三十二率何也盖多率之开方初商表其数极繁惟初商单一则任折小至多率而初商实亦必仍为单一幸而求折小多率者其首位必为单一故用第一第二两术其第一数必为单一而初商实犹可知若用第三四术则初商必为二而初商实即极繁而不可求矣然即用第一二术而其中又有窒今试以一０为本数依第一术求之则以一０为除法初商实一减一０得九为乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能递求依第二术则一除九乘位不惟不降而反升尤不能递求是窒也夫求折小多率者其本数必须单一下有空位空位后带零数则减余数小而可求今本数一０既非单一又无零数则必假一单一下有空位带零数之数以求之此用数之所由来也而求用数约有四法以本数先求折小第几率为用数其第一数以折小率若干乘之然后递求此一法也以本数首位降为单位以自二至九自一一至一九诸数累除之为用数求得数后以除法对数加之视降几位再首位加几又一法也以本数先求倍大第几率以首位降为单位为用数求得数后视降几位则首位加几然后以倍大率若干除之又一法也置本数以自二至九累乘之以首位降为单位为用数求得数后视降几位首位加几然后以乘法之对数减之又一法也然第一法取数不易而有畸零惟求对数根不得已而用之第二法亦有畸零第三法虽无畸零而不可必得盖诸数之倍大率不能辄得首位为一而下有空位也惟第四法既无畸零且可必得故求用数可以倍大率求者则用倍大率其不可用倍大率者则用借数累乘法为便也
假如以倍大率求二之用数
法以二自乘九次得一千零二十四为二之倍大第十率降三位得一０二四为二之用数
假如以累乘法求七之用数
法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八为七之用数
假如兼用倍大率及累乘法求三之用数
法以三自乘再乘得二十七为三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八为三之用数
论借数
戴煦
借数者自二至九共八数借为累乘之数也凡诸数择八数内之数乘之皆可得首位为一而下有空位故借数不必广求即八数而已足但由用数求得之对数必以乘法之对数加之则必先求借数之对数而借数虽有八数实止三数何也二五四八本通为一数三六九亦通为一数惟七则自为一数故有三数之对数而八数之对数已备有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣
假如有对数根求二与四与五与八之对数
法依前求得二之用数一０二四减去单一得００二四为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在单位下则乘得数小于原数为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得三六０二二一二一五０七为第四数负 如是递求得六九一六二四七三三为第五数正 一三八三二四九五为第六数负 二八四五五四为第七数正 五九七六为第八数负 一二七为第九数正 三为第十数负 乃并诸正数得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并诸负数得００００一二五一一二八四六七四八一一八以负减正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九为一千零二十四之对数以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小余四九为二之对数也
求四之对数者以四即二之倍大第二率乃以二之对数二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八即四之对数
求五之对数者以二与五相乘即十乃以十之对数单一内减二之对数得０六九八九七０００四三三六０一八八０五一即五之对数
求八之对数者以八即二之倍大第三率乃以二之对数三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之对数
用数 一０二四
乘法 ００二四
第一数 ００一０四二三０六七五六五六七八０四三 乘法乘之一乘二除得
二 一二五０七六八一０七八八一三七 同 二 三
三 二００一二二八九七二六一０ 同 三 四
四 三六０二二一二一五０七 同 四 五
五 六九一六二四七三三 同 五 六
六 一三八三二四九五 同 六 七
七 二八四五五四 同 七 八
八 五九七六 同 八 九
九 一二七 同 九 十
十 三
并正数 ００一０四二五０六九四八六五六００六七
并负数 ００００一二五一一二八四六七四八一一八
减得 ００一０二九九九五六六三九八一一九四九
首位 三０一０二九九九五六六三九八一一九四九
加三
十除之 ０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 二之对数
二乘之 ０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八 四之对数
以减 ０六九八九七０００四三三六０一八八０五一 五之对数
单一
三乘之 ０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七 八之对数
假如求三与六与九之对数
法依前求得三之用数一０八减去单一得００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得００三四七四三五五八五五二二六０一四四九为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三为第四数负 如是递求得二八四六一九二三一六六０一为第五数正 一八九七四六一五四四四０为第六数负 一三０一一一六四八七六为第七数正 九一０七八一五四一为第八数负 六四七六六六八七为第九数正 四六六三二０一为第十数负 三三九一四二为第十一数正 二四八七０为第十二数负 一八三七为第十三数正 一三六为第十四数负 一０为第十五数正 一为第十六数负乃 并诸正数得００三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并诸负数得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以负减正得００三三四二三七五五四八六九四九七０一二为用数之对数以用数系降二位于乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为一百零八之对数以系借四乘再减四之对数得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四为二十七之对数以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之对数也
求六之对数者以二三相乘即六乃以二之对数加三之对数得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０即六之对数
九之对数者以九系三之倍大第二率乃以三之对数二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之对数
用数 一０八
乘法 ００八
第一数 ００三四七四三五九八五五二二六０一四四九 乘法乘之一乘二除得
二 一三八九七四二三四二０九０四０五八 同 二 三
三 七四一一九五九一五七八一五五０ 同 三 四
四 四四四七一七五四九四六八九三 同 四 五
五 二八四六一五二三一六六０一 同 五 六
六 一八九七四六一五四四四０ 同 六 七
七 一三０一一一六四八七六 同 七 八
八 九一０七八一五四一 同 八 九
九 六四七六六六八七 同 九 十
十 四六六三二０一 同 十 十一
十一 三三九一四二 同 十一十二
十二 二四八七０ 同 十二十三
十三 一八三七 同 十三十四
十四 一三六 同 十四十五
十五 一０ 同 十五十六
十六 一
并正数 ００三四八一七九六四０七０六九七二一五二
并负数 ０００一三九四二０八五八三七四七五一四０
减得 ００三三四二三七五五四八六九四九七０一二
首位 二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二
加二
内减四 一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四
之对数
三除之 四七七一二一二五四七一九六六二四三七一 三之对数
内加二 ０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０ 六之对数
之对数
二乘三 ０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二 九之对数
之对数
假如求七之对数
法依前求得七之用数一００八减去单一得０００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０００三四七四三五五八五五二二六０一四五为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负 如是递求得二八四六一九二三为第五数正 一八九七四六为第六数负 一三０一为第七数正 九为第八数负 乃并诸正数得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一又并诸负数得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六０为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三００三四六０五三二一０九五０六四八六０为一千零八之对数以系二与八与九叠乘所得乃并二八九之三对数得二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八减之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之对数也
用数 一００八
乘法 ０００八
第一数 ０００三四七四三五五八五五二二六０一四五 乘法乘之一乘二除得
二 一三八九七四二三四二０九０四一 同 二 三
三 七四一一九五九一五七八二 同 三 四
四 四四四七一七五四九五 同 四 五
五 二八四六一九二三 同 五 六
六 一八九七四六 同 六 七
七 一三０一 同 七 八
八 九
并正数 ０００三四七四四二五九七七六六三九一五一
并负数 ０００００一三八九七八六八一五七四二九一
减得 ０００三四六０五三二一０九五０六四八六０
首位加三 三００三四六０五三二一０九五０六四八六０
并三对数 二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八
减得 ０八四五０九八０四００一四二五六八三二二 七之对数
按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一０二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者盖对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也
假如有借数求二十三之对数
法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一０三五为二十三之用数减去首位单一得００三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一五二００三０六八六六六一三八一三四为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得二六六００五三七０一六五七四一七为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得六二０六七九一九七０五三四０为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五为第四数负 如是递求得四五六一九九二０九八三为第五数正 一三三０五八一０二九为第六数负 三九九一七四三一为第七数正 一二二二四七一为第八数负 三八０三二为第九数正 一一九八为第十数负 三八为第十一数正 一为第十二数负 乃并诸正数得００一五二０六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得００一四九四０三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九叠乘所得乃以五与九两对数相并得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之对数也
用数 一０三五
乘法 ００三五
第一数 ００一五二００三０六八六六六一三八一三四 乘法乘之一乘二除得
二 二六六００五三七０一六五七四一七 同 二 三
三 六二０六七九一九七０五三四０ 同 三 四
四 一六二九二八二八九二二六五 同 四 五
五 四五六一九九二０九八三 同 五 六
六 一三三０五八一０二九 同 六 七
七 三九九一七四三一 同 七 八
八 一二二二四七一 同 八 九
九 三八０三二 同 九 十
十 一一九八 同 十 十一
十一 二八 同 十一十二
十二 一
并正数 ００一五二０六五一八二二四五七一九九五八
并负数 ００００二六六一六八四三一六三五四三八一
减得 ００一四九四０三四九七九二九三六五五七七
首位 三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七
加三
二与九 一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三
对数共
减得 一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 二十三之对数
按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也
附对数还原
论借用本数
对数为真数之率数而恒以一０为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一０不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一０为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一０００００一何以言之盖用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得００００００一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一为便也惟诸对数系以一０为第一率之率数今用一０００００一为第一率则率数不合矣法先求得一０００００一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一００００００一为本数第一率之率数也
假如以一０００００一为借用本数求其对数为除法
法以对数根降六位得０００００００四三四二九四四八一九０三三为第一数正 以第一数降六位一乘之二除之得二一七一四七二为第二数负 以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正 乃以第一第三两数相并内减第二数得０００００００四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也
本数 一０００００一
乘法 ００００００一
第一数 ０００００００四三四二九四四八一九０三三 乘法乘之一乘二除
二 二一七一四七二 同 二 三
三 一
并得数 ０００００００四三四二九四四八一九０三四
减得 ０００００００四三四二九四二六四七五六二 一０００００一之对数
论借用率数
前言以一０００００一之对数除所设对数为率数而一０００００一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一００九自一０００一至一０００九自一００００一至一００００九自一０００００一至一０００００九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也
求备减表
自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若一０一至一０九则原数即可递求不必再求用数至一００一至一００九则递求各数与一０一至一０九相同止须逐数递降一位并减之即得若一０００一至一０００九则再降一位并减之以后各数并同此法
真数 假数 小余
二 ０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九
三 ０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一
四 ０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八
五 ０六九八九七０００四三三六０一八八０五一
六 ０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０
七 ０八四五０九八０四００一四二五六八三二二
八 ０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七
九 ０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二
一一 ００四一三九二六八五一五八二二五０四一七
一二 ００七九一八一二四六０四七六二四八二六九
一三 ０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六
一四 ０一四六一二八０三五六七八二四八０二七一
一五 ０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二
一六 ０二０四一一九九八二六五五九二四七七九六
一七 ０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八
一八 ０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一
一九 ０二七八七五三六００九五二八二八九六一九
真数 假数 小余
一０一 ０００四三二一三七三七八二六四二五六六五
一０二 ０００八六００一七一七六一九一七五五九八
一０三 ００一二八三七二二四七０五一七二二０四六
一０四 ００一七０三三三三九二九八七八０三五四三
一０五 ００二一一八九二九九０六九九三八０七四四
一０六 ００二五三０五八六五二六六六八四一二六四
一０七 ００二九三八三七七七六八五一０九六四０二
一０八 ００三三四二三七五五四八六九四九七０一二
一０九 ００三七四二六四九七九四０六二三六三三八
一００一 ００００四三四０七七四七九三一八六四０七
一００二 ００００八六七七二一五三一二二六九一二五
一００三 ０００一三００九三三０一０四一八一一四六
一００四 ０００一七三三七一二八０九０００五二九七
一００五 ０００二一六六０六一七五六五０七六七六二
一００六 ０００二五九七九八０七一九九０八六一二二
一００七 ０００三０二九四七０五五三六一八００七０
一００八 ０００三四六０五三二一０九五０六四八六０
一００九 ０００三八九一一六六二三六九一０五二一六
真数 假数 小余
一０００一 ０００００四三四二七二七六八六二六六九六
一０００二 ０００００八六八五０二一一六四八九五七二
一０００三 ００００一三０二六八八０五二二七０六０九
一０００四 ００００一七三六八三０五八四六四九一八七
一０００五 ００００二一七０九二九七二二三０二０八二
一０００六 ００００二六０四九八五四七三九０三四六九
一０００七 ００００三０三八九九七八四八一二四九一九
一０００八 ００００三四七二九六六八五三六三五四０八
一０００九 ００００三九０八六九二四九九一０一三一０
一００００一 ００００００四三四二九二三一０四三０八四
一００００二 ００００００八六八五八０二七八０六二六三
一００００三 ０００００一三０二八六三九０二八四八九三
一００００四 ０００００一七三七一四三一八四九八０九二
一００００五 ０００００二一七一四一八一二四五一五五一
一００００六 ０００００二六０五六八八七二一五三九六九
一００００七 ０００００三０三九九五四九七六一三九八六
一００００八 ０００００三四七四二一六八八八四０三三三
一００００九 ０００００三九０八四七四四五八四一六七五
真数 假数 小余
一０００００一 ０００００００四三四二九四二六四七五六二
一０００００二 ０００００００八六八五八八０九五二一八七
一０００００三 ００００００一三０二八八一四九一三八八五
一０００００四 ００００００一七三七一七四四五三二六六四
一０００００五 ００００００二一七一四六六九八０八五三三
一０００００六 ００００００二六０五七五九０七四一五０一
一０００００七 ００００００三０四００五０七三三一五七七
一０００００八 ００００００三四七四三四一九五六八七六七
一０００００九 ００００００三九０八六三二七四八三０八三
假如有对数一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求借用率数
法置所设对数去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得００二九三０五一五五一九五三八六六四一八又足减一０四之对数减得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足减一００五之对数减得００００一０五七五四一四００九八六一一三又足减一０００二之对数减得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足减一００００四之对数减得００００００一五三二四九六五九九八四四九又足减一０００００三之对数减得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０为借用率数也
一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 首位减一得
０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四 内减二之对数
０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 减得
００六０六九七八四０三五三六一一六八三五 内减一一之对数
００四一二九二六八五一五八二二五０四一七 减得
００一九三０五一五五一九五三八六六四一八 内减一０四之对数
００一七０三三三三九二九八七八０三五四三 减得
０００二二七一八一五八九六六０六二八七五 内减一００五之对数
０００二一六八０六一七五六五０七六七六二 减得
００００一０五七五四一四００九八六一一三 内减一０００二之对数
０００００八六八五０二一一六四八九五七二 减得
０００００一八九０三九二八四四九六五四一 内减一００００四之对数
０００００一七三七一四三一八四九八０九二 减得
００００００一五三二四九六五九九八四四九 内减一０００００三之对数
００００００一三０二八八一四九一三八八五 减得
０００００００二二九六一五一０八四五六四 以借用本数之对数
０００００００四三四二九四二六四七五六二 除之得
０五二八七０八五九０二一二０ 借用率数
假如有对数一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真数
法依前求得借用率数０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本数首位单一下加十九空位得一０００００００００００００００００００为第一数正 次以借用本数减去单一得００００００一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七０八五九０二一二０为第二数正 乘法乘第二数又以率数反减一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负 乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正 乃并诸正数得一００００００五二八七０八五九０二一二一内减第三负数得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一０００００三与一００００四与一０００二与一００五与一０四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也
本数 一０００００一
乘法 一０００００一
第一数 一０００００００００００００００００００ 降六位率数乘之得
二 五二八七０八五九０二一二０ 降六位率数减一乘之二除之得
三 一二四五九二九 降六位率数减二乘之三除之得
四 一
并本数 一００００００五二八七０八五九０二一二一
减得 一００００００五二八七０八四六五六一九二 以一０００００三乘之得
一０００００三五二八七一００五一七四四六 以一００００四乘之得
一００００四三五二八八五一二００一四六七 以一０００二乘之得
一０００二四三五三七五五六九七０三八六七 以一００五乘之得
一００五二四四七五五二四四七五五二四四八 以一０四乘之得
一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一 以一一乘之得
一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八 以二乘之得
二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八 弃零进一升一位
二三
按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大于单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣
割圜连比例术图解序
董佑诚
元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示盖海甯张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反覆寻绎究其立法之原盖即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢亘求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉
割圜连比例后序
董佑诚
割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于钟祥李氏盖干隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通钓隐探赜杂而不越盖师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元玉监菱草形段果垛叠藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之
少广缒凿
夏鸾翔
开平方捷术一
小初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之为三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止
此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根
算例
假如平积一百二十一求方根
小初商一□○为一借根 一借根除本积得一□二一为二借根 并一二借根半之得一□一０五为三借根 三借根除本积得一□○九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根 并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根
开平方捷术二
大初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之得三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根
算例
假如平积九十九求方根
大初商一□○为一借根 一借根除本积得□九九为二借根 并一二借根半之得□九九五为三借根 三借根除本积得□九九四九七四为四借根 并三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根
开诸乘方捷术一
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷
算例
假如平积五十求方根
以□七一之平积五□○四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法 小初商□七为一借根 一借积四□九减本积余以除法除之得□○０七０四以加一借根得□七０七０四为二借根 二借积四□九九九０五五六减本积余以除法除之得□○０００六六五以加二借根得□七０七一０六五为三借根截去末二位得□七０七一０即方根
开诸乘方捷术二
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法 大初商□三为一借根 一借积□九内减本积余以除法除之得□○０三三三三三以减一借根余□二九六六六为二借根 二借积□八八００七一五五内减本积余以除法除之得□○０００一一九以减二借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根
开诸乘方捷术三
小初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止
算例
假如平积五十求方根
以□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法 小初商□七为一借根 一借积四九减本积余以除法除之得□○０七一四以加一借根得□七０七一四为二借根 二借积五□○００四六九七内减本积余以除法除之得□○０００三三五以减二借根得□七０七一０六为三借根截去末一位得□七０七一０即方根
开诸乘方捷术四
大初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根以下逐数皆一减一加相间 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法 大初商□三为一借根 一借积□九内减本积余以除法除之得□○０三四四八二七以减一借根余□二九六五五为二借根 二借积□八七九四一九０减本积余以除法除之得□○００一００一七二以加二借根得□二九六六五为三借根 三借积□八八００一二二二内减本积余以除法除之得□○００００二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根
天元开诸乘方捷术一较数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与元数密合而止
算例
假如平方负积十六正方二正隅一求元数
以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法 小初商□三为一借根 一借积一五□五减本积余以除法除之得□○一一九０以加一借根得□三一一九０为二借根 二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得□○００四０二八以加二借根得□三一二三０为三借根 三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得□○０００一０三以加三借根得□三一二三一０三为四借根截去末三位得□三一二三即元数
天元开诸乘方捷术二和数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又加一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求小元数
以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法 小初商□○九为一借根 一借积□二七九减本积余以除法除之得□○０五五以加一借根得□○九五五为二借根 二借积□二九０七九七五内减本积余以除法除之得□○００三九八七以减二借根余□○九五一０一为三借根 三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□○０００一九００五以加三借根得□○九五一二０为四借根 四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得□○０００００九二八以减四借根得□○九五一一九０为五借根截去末一位得□○九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三□○之积二四□○为外积三□○为外根求得三□八为递次除法 大初商三□○为一借根 一借积二四□○内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根 二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得□○０九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根 三借积一六□八三四内减本积余以除法除 之得□○００八九四以减三借根余二□八００一为四借根 四借积一六□八００三内减本积余以除法除之得□○０００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一之积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得□○０五以加一借根得□三０五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得□○００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根 三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得□○００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得□三一二三一仍为借根以借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□○００００四六三九 乃用前得元数□三一二三一又为外根如前求得除法□八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□八二四六三为除法 除法除余积得□○０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方亦可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相并减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□○九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□○九０四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□○九００二０为二借根 二借根步至方法得一□九九九九八以除本积得□○九００００九弃零得□○九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千００一正隅一求元数
方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根廾乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根 二借根廾乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一□○为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□○为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆九九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四０以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
按正诸乘方亦可用右术
天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截段求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也
算例
假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八０□三欲增求之
以六一八０□三为外根如前又求得二二三六０□六为递次除法 六一八０□三为一借根 一借积九九九九九一０八０□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六０□六为初变方正一为正隅 置初变积以除法除之得□○三九八八七有奇截用四位得□○三九八八为次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八为二借根 次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得□○００００七四九八九有奇截用四位得□○００００七四九八为三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八为三借根 三小根借积一□六七六六０三七六八九六七００００四减次变积余□○００二一二０八七０三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅 置三变积以除法除之得□○０００００００九四八四八有奇截用四位得□○０００００００九四八四为四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四为四借根即元数
按右例所得十六位元数即理分中末之大分数也
截球解义
徐有壬
几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然徧检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明盖风用方今用圆其理则无二也述截球解义
设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘幂因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径幂内容一象限为此体之凑心立面各一
图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径
图略于此体横切之去其上截则高为余弦
图略下半截上面截成两象限一大一小
图略
此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径 句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推之其理易见
然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣
立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也
又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也
底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等
于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也
小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也
余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累叠积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷横薄切之皆相等之象限面圆球横薄切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣
是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣
是故三倍圆珠两倍圆囷其积必等
夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣
是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等
是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积
再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥
再依前法将截球壳外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣
圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二
求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣
是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等
是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积
全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也
球径求积术
径自乘再乘半之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数 诸数相并即球积
球径求球壳积术
径自乘三之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并即球外面皮积
截球余弦求截球积术
识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍 半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍 两积相并为截球积
半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球积
截球矢求截球上盖积
识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍 矢乘矢径差为正弦幂求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减余为盖积
矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并为截球上盖积
附录椭圜求周术
椭圜求周无法可驭借平圜周求之则有三术以袤为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方
堆垛术曰一为第一数 一乘三乘第一数四除之为第二数 三乘五乘第二数九除之为第三数 五乘七乘第三数十六除之为第四数 七乘九乘第四数二十五除之为第五数 九乘十一乘第五数三十六除之为第六数 依次列之为初表
招差术曰广袤各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根
招差又术曰以袤为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径
堆垛又术曰三因借圜径为第一数 四分第一数之一二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一八分去一九分去二为第五数 四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数 递求至若干位相并为椭圜周
右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下
招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径
此即戴氏术变通得之余三层皆同前
若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也
四元解序
顾观光
四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端盖有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则幂与幂乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也繙阅之暇每欲改易算式而其道无由乙已冬海甯李君秋纫以所着四元解示余余受而读之见其以面体释四元以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直 发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反覆辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也
对数探原序
顾观光
对数探原者海甯李君秋纫所着也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为０而百亿之对数亦为０故尖堆下段之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为０此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二段之积不得不同于三四两段之积以三因代再乘则二段之积不得不又同于五六七八四段之积此尖堆二段以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一段之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启盖实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也
数学跋
顾观光
江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日躔历指偁意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六段计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四０三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测验之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫
岁实消长其故有二一由两心差有大小一由黄赤距有远近吴江王氏青州薛氏并尝言之今薛氏天学会通未见足本晓庵新法又脱去补遗不知其说云何江氏之说得其一而失其一盖考之未审矣夫黄极环赤极二万五千八百六十八年而一周即岁差也黄道既退行于赤道则岁实必渐消惟是西人旧说皆以岁差为恒星东行遂与最高行两数混淆无从分析中法知岁差为岁不及天矣而又不知最高之有行分宜乎岁实消长历千余年而未有定论也近日西人新测春秋分点每岁西行五十一秒最高每岁东行十一秒八两心差古大今小约百年差二万五千分之一黄赤道古远今近约百年差四十八秒咸丰庚申最卑过冬至十度二十八分五十三秒三０黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八